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牛顿法实现开根号

 

SCIP 1.1.7的一个练习。

牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值。

过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理,可以得到以下的迭代公式:X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的编程方法如下:

  1. double sqr(double n) {
  2.     double k=1.0;
  3.     while(abs(k*k-n)>1e-9) {
  4.         k=(k+n/k)/2;
  5.     }
  6.     return k;
  7. }

求n的平方根,先随便取一个不是0的数作为迭代开始的x(0),例如最简单的x(0)=1,然后反复代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一个x,代入次数越多解约精确。

例如,2的平方根:

  • x(0) = 1
  • x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
  • x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
  • x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…

就这样,反复代入上式计算,得到的值越来越精确。

或者这么解释:

  1. 对x的平方根的值一个猜想y。
  2. 通过执行一个简单的操作去得到一个更好的猜测:只需要求出y和x/y的平均值(它更接近实际的平方根值)。

例如,可以用这样方式去计算2的平方根

猜想 平均值
1  2/1=2  (2+1)/2 = 1.5
1.5  2/1.5=1.3333   (1.3333+1.5)/2 = 1.4167
1.4167  2/1.4167=1.4118   (1.4167+1.4118)/2=1.4142
1.4142   ...    ...

继续这一计算过程,我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。

继续这一计算过程,我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。

下面用C语言实现一遍:

  1. #include "stdio.h"
  2. #include "math.h"
  3. int main(void)
  4. {
  5.     double n,y=1.0;
  6.     printf("请输入一个需要求其平方根的数:");
  7.     scanf("%lf",&n);
  8.     // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
  9.     while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
  10.     {
  11.         y=1.0/2.0*(y+n/y);
  12.         printf( "y=%lfn", y );
  13.     }
  14.     printf("平方根为%fn",y);
  15.     return 0;
  16. }

程序运行结果:

  1. 请输入一个需要求其平方根的数:2
  2. y=1.500000
  3. y=1.416667
  4. y=1.414216
  5. 平方根为1.414216
  6. 请输入一个需要求其平方根的数:3
  7. y=2.000000
  8. y=1.750000
  9. y=1.732143
  10. y=1.732051
  11. 平方根为1.732051

PS:Quake III公开源码后,有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍,有兴趣的可以研究一下。不过这是后话了,

  1. float Q_rsqrt( float number )
  2. {
  3. long i;
  4. float x2, y;
  5. const float threehalfs = 1.5F;
  6.     x2 = number * 0.5F;
  7.     y  = number;
  8.     i  = * ( long * ) &y;
  9.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
  10.     y  = * ( float * ) &i;
  11.     y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
  12. // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
  13.     #ifndef Q3_VM
  14.     #ifdef __linux__
  15.     assert( !isnan(y) );
  16.     #endif
  17.     #endif
  18. return y;
  19. }

http://blog.csdn.net/huaqianmian/article/details/51279627

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